周小川新著：《数学规划与经济分析》
数学规划是一种寻找最优化的方法，比较典型的有线性规划、非线性规划、动态规划等。经济主体的行为大多可以理解并表达成数学规划中的最优化问题。经济学中最典型的假设是，市场经济里的企业和个人都是谋求自身利益的，企业追求利润最大化，也就是所谓的“经济人假设”。而劳动者谋求自身收入和消费效用最大化，同时在劳动和休闲之间进行优化选择。对于一个政府而言，可以考虑比GDP更综合的目标函数。如果用数学规划来考虑这些问题，会有很多优势，有些问题能够看得更透彻，并以一个更精确的角度来分析问题。
作者对上述问题进行了系统的研究，对于将数学规划运用到经济分析中具有丰富的经验。《数学规划与经济分析》一书由其研究成果整理而成，包含五章内容，分别是经济分析中的数学模型，基本经济关系的数学表达与统计核算，均衡、激励与机制设计，信息系统特性与交易机制，以及改革中不断呈现的议题，最后还以附录的形式描述了具体的递推过程。本书对于经济学界相关的研究人员以及从事宏观调控、微观管理的相关人员而言都是很好的学习资料。
- 导言 -
经济分析与政策中含有大量的最优化问题，如资源配置优化问题、福利最大化问题等。掌握最优化的数学规划(Mathematical Programming)模型可谓是做好经济分析的基本功之一。
最优化模型的目标函数，特别是多目标的权重参数的确定，历来是个挑战。经济系统可能需要参数的内生化，导致参数型递推规划。
最优化的实现隐含若干条件，致使拉格朗日函数大有用处，并产生了影子价格的概念。当需要引入非线性表达时，不等式约束的非线性规划隐含着库恩—塔克条件。拉格朗日函数和库恩—塔克定理还帮助人们建立起总量最优化与微观行为之间的桥梁。
总量最优化与一般均衡的关系历来是转轨经济学中最令人纠结和兴奋的焦点。
计量经济学始终是经济分析的基本技能，使经济学家的思维从推想发展为实证。
经济系统并不都是连续的，本次国际金融危机的演变呈现显著的事件驱动特征。事件是概率性的，在技术上引出了对离散系统模拟和贝叶斯决策的应用。
过去主流的货币政策模型都不包括金融机构及金融市场的行为，或者说数学规划与经济分析是被简化掉了。为处理加入这些行为后带来的复杂性，出现了动态随机一般均衡模型。另外，也可以借助大系统模拟。
从货币政策到经济系统发生反应之间的时滞使人们必然要寻求有效的数学表达。应用之一是在本轮金融危机中如何运用经济刺激手段及何时退出的议题。这也可用自动控制理论去理解。
跨学科的相互借鉴历来是有益的，或许最值得经济分析去借鉴的是信息理论(包括真实信息的可获取性、计算的复杂性、信息不对称等方面的理论)，电子学中的反馈与时间频率特性，以及控制理论。可以说，宏观审慎性政策框架的出台与此有不小的关联。
博弈论解释了许多经济行为。只有理解了博弈，才能提高最优化分析的水平。
- 1.1 最优化 -
在很多领域的研究和工作中，经常涉及优化问题，可以用最优化的思路和方法来解决。从经济工作的角度看，不管是对于整体宏观经济还是某个具体的行业、部门，或者是对一个企业乃至企业中的某个车间、某条流水线，如果能运用最优化方法来进行管理，可能会有很好的成效。最优化模型之所以很有用，主要是与最优化数学模型对事件的模拟以及凭借数学模型计算能够得出最优解有关。不管做什么事情，首先要明确你的目标是什么，要设计一个目标函数。进一步地，对于想要做的这件事，要弄清楚其开展的基本规律和一般过程，体现在最优化模型中，就是要建立描述事情过程的若干方程式。然后，还要考虑推进这件事情、达到最终目标的过程中要受到哪些约束，这些约束往往很重要，在最优化模型中表示为数学规划的约束条件。明确了上述各个方面，借助最优化的数学模型，就可以寻找出开展各项工作、实现目标的最优途径。这样，不仅可以把各项工作做好，还有望达到一个最优的均衡状态。
◉一、常用的最优化方法
根据目标函数和约束条件表达式的性质，常见的最优化模型通常有以下几种:
一是线性规划。数学规划解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案，可以表示为求函数在满足约束条件下的极大极小值问题。如果约束条件和目标函数都是成线性关系的就叫线性规划。线性规划是最基本、应用最广泛的最优化方法，具有适应性强、应用面广、计算技术比较简便的特点，许多实际问题都可以转化成线性规划来解决，小到一个班组的计划安排，大至整个部门，乃至国民经济计划的最优化方案分析，都有用武之地。特别是借助电子计算机，可以便捷地处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题，从而解决了最优化的技术问题。
二是非线性规划。非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是线性规划的进一步发展和继续，其基础性工作是在1951年由库恩(H.W.Kuhn)和塔克(A.W.Tucker)等人完成的，并在20世纪70年代得到了进一步发展和广泛应用。非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，许多实际问题都属于非线性规划的范畴。非线性规划扩大了数学规划的应用范围，同时也给数学工作者提出了许多基本理论问题，如使数学中的凸分析、数值分析等也得到了发展。
三是动态规划。在现实生活中，一些活动可分成若干个互相联系的阶段，每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果，这就是多阶段决策最优化问题。多阶段决策问题与时间有关，决策不仅依赖于当前状态，而且引起状态的转移，从而形成一个变化状态中的决策序列，运用动态规划，可以把多阶段过程转化为一系列单阶段问题逐个求解。即使一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。动态规划已成为工程控制、技术物理和经济管理中广泛运用的最优化工具。
四是递推规划。递推规划也用于解决多阶段、动态经济系统的决策问题。有的多阶段决策问题，由于不满足最优化原理等使用动态规划的先决条件而无法应用动态规划，这时可以将最优目标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题，这就是递推规划。从形式上看，递推规划不是一种独立的模型方法，而是将复杂经济系统跨周期予以分解、组合和动态连接的途径，通常由三部分构成，即最优化过程、反馈过程和数据产生过程。递推规划具有较强的政策分析能力，对于复杂经济系统的分析和决策、解决一些相关的实际问题很有用。
以上是几个比较常用的最优化方法，在经济管理中，这些方法被广泛地用于最优化建模。例如，在宏观经济一般均衡框架下，采用动态化方法，构建动态随机一般均衡(DSGE)模型，在中央银行的宏观经济分析和货币政策决策中得到了运用，成为最重要的宏观经济分析方法之一。
此外，还有贝叶斯决策模型、博弈论模型等，贝叶斯模型对于当前扩张性货币政策退出的研究非常有用，博弈论对于分析贸易摩擦以及中国加入世界贸易组织的过程也都是非常有好处的。
◉二、最优化模型的建立
建立最优化模型、用最优化方法解决实际问题，关键是确定最优化模型所依赖的变量、约束条件和目标函数三要素，在此基础上，选择合适的最优化方法，获得最优化决策方案。首先是确定目标。有的人在开展工作时，往往不太明白其目标是什么，也有的时候是忘记了工作的目标是什么，对此最好的办法是把目标描述出来，在最优化问题中就是要建立我们所关心的目标函数，以及与这一目标相关的若干影响因素(通常用其他若干变量来表达)。例如，对于宏观经济调控，目标往往是若干宏观经济指标的最大化，人们通常希望实现GDP增长、就业增长的最大化。当然现在也有一些批评意见，反对片面地用GDP指标来衡量经济增长和社会进步，但到目前为止也难找出其他的目标能够有效替代GDP指标。也有人提出GDP最大化是个单目标函数，因此不够全面，但这个观点也不太对，事实上GDP函数里包括很多变量，如各种产品和服务、不同领域的消费、投资、进出口等，所以实际上它是一个多目标函数。
保持工作目标的清晰十分重要。为了确定一个比较明确的目标，在处理多目标函数时，可以考虑把不同的目标通过适当的方法转化为单一目标。例如，对与GDP相关的一系列目标，可折算成对GDP的影响因素，并纳入GDP目标函数，将问题简化为GDP目标的最优化。如考虑环境因素，可以把经济增长对环境的污染折合成负的GDP;如果考虑社会因素，可把与经济增长相关的一些社会目标折算成正的或者负的GDP，还可以把未来的一些长远目标折成现值;等等，反映到GDP目标函数中。当然也有其他处理多目标函数的方法，但有些处理方法过于复杂，容易搞乱，反而使目标不清晰。
其次是明确约束条件。约束条件是求解最优化问题时已知的并需遵循的前提条件。一些约束条件反映了经济规律本身的客观规定，也有一些来自其他方面的外部性约束。在解决经济问题时，往往需要较多地关注一些外部性约束条件。
2009年12月，在哥本哈根召开了关于全球气温变暖问题的联合国会议。对于我国而言，应该说，我们早晚要有明确的说法，在下一个五年计划中可能要提出二氧化碳排放的具体目标。一旦对二氧化碳的总排放量设定某种限制，就相当于在过去传统的GDP增长目标上加了一个额外的约束条件。这个约束条件如何表达呢?直观地说，是通过对排放的限制形成对产出的限制，但也可以换一种思路，设计这个约束条件可能产生的影子价格，通过价格机制来发挥作用。具体而言，就是设计二氧化碳排放配额，并形成其市场价格，这样就可以把问题归结为相关的资源配置及其效率问题，也就是鼓励减排和限制排放的各种措施在对各类企业发挥作用过程中，各种生产要素如何实现最优配置问题。可见，通过设计影子价格，约束条件可以得到比较充分的体现和表达。
最后是建立数学模型。明确了目标及约束条件之后，需要对拟开展工作的客观规律作出基本描述，包括对经济关系和一些人为制定的规则进行基本描述，用数学语言表达出来，建立方程式和方程组。
在建立最优化数学模型过程中，可能还会出现一些困难。以建立宏观经济数学模型为例，可能出现的困难是，在建立目标函数时，很难确定目标函数中变量的系数。在线性目标函数中，系数即权重，简单而言就是不同变量之间的加总关系。比如对于产品市场，从实物类产品和服务类产品的角度来衡量，权重实际上就是实物类产品和服务类产品的比价。现在的问题是，这种比价关系在建模时还没有形成，特别是如果考虑到一些市场条件方面的因素，事先很难确定其比价关系。当然，通过大量的数据采集并运用一些好的计算方法，尤其是在目前可利用计算机进行复杂运算的条件下，通过反复计算或多次模拟，终归可以找出合适的权重。正如大家已了解的那样，目前对于商品、服务、投资、进出口等我们常见的经济变量，其权重的计算与确定已不太困难。比如对于进出口额变量，其中一种权重就是汇率，这意味着汇率问题也可以在最优化模型中得到解决。比较难的是其他的社会目标价格权重的确定，如环境目标、碳排放等变量，其价格就很难衡量。当然，在构建数学模型过程中，我们还是应更多地运用现代计算技术，找到一些方法来进行模拟运算，从而尽可能找出这些权重关系，这可能对社会经济发展都是非常重要的。
◉三、值得注意的几个问题
一是激励机制问题。在建立关于经济管理问题的数学模型时，必然要用到价格机制，要设价格变量，这些大家都耳熟能详，但对于其他一些非价格变量及其约束条件，我们往往习惯于孤立地看待其作用，而没有考虑到可能产生的影子价格以及价格机制的作用。为什么强调这个呢?这是因为，考虑了影子价格及其作用，就有助于我们充分运用价格机制的激励作用。我们在追求目标时，所采用的办法经常忽略激励机制的重要意义。比如在中国，很多人都在关注和讨论结构调整问题。结构调整的确非常重要，目前也是好的时机。一方面，需要认真研究结构调整和GDP增长之间究竟是一个什么样的关系;另一方面，需要特别强调，目前对推进结构调整的激励机制还很不够，在运用各种工具来实现目标最大化的过程中，对价格机制的运用还不够充分，没有建立足够的激励机制，结果就是很多事情做不好，一些目标达不到。
举一个农业银行改革的例子。对于农业银行的改革，我们既要求农行要为“三农”服务，又希望它成为一家优秀的、符合国际标准的大银行。这固然要按照现代企业制度的要求推进农行的股份制改革，包括核销已损失的资本金、剥离和处置不良资产、再度注资、公开发行上市的改革步骤，但同时也要充分考虑到推进改革的激励问题，要设计一套激励机制，使得改革措施能在这个五六十万人的大银行得以有效推进，特别是农行在广大县域和农村地区的基层能够围绕改革的目标函数来有效开展各项工作，最后加总起来实现目标最大化。这恐怕还要回到莱昂里德.赫维茨(Leonid Hurwicz)教授所说的激励机制设计、激励相容性问题上来。赫维茨教授指出，在市场经济中，每个理性经济人都会有自利的一面，如果有一种制度安排，能实现个人价值与集体价值两个目标函数最优过程的一致化，从而使得行为人追求个人利益的行为，正好与企业实现集体价值最大化的目标相吻合，这一制度安排就是“激励相容”的。总之，激励机制的运用需在数学规划模型中得到足够的重视和体现。
二是原始对偶问题。通过数学规划模型实现最优化的过程是很有趣、很有吸引力的。为什么这么说?这里面有一个原始问题和对偶问题之间的相互关系问题。所谓的原始对偶理论表明，每一个最优化规划问题(即原始问题)都有一个与之对应的对偶最优规划问题(称为对偶问题)，在求出一个问题最优解的同时，也给出了另一个问题的最优解。举例来说，一家公司在追求企业价值最大化的过程中，如果构建了一个最优化模型用以计算如何实现利润最大化，从另一个角度考察，就会发现，该模型同时也是一个企业成本最小化的最优化模型。这里，企业利润最大化的最优化模型和企业成本最小化的最优化模型就属于我们所说的原始对偶关系。顺着这个思路，我们也许可以把很多要解决的问题联系起来。例如，我们有可能在追求经济社会目标最大化的时候，同时也考虑如何实现一些其他社会成本的最小化，如要素投入最节约，环境污染、碳排放最小化等，最终这些内容会是一致的。
《数学规划与经济分析》
周小川 著
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